Fórmula resolvente, discriminante, y por qué a veces hay 2 soluciones, a veces 1, y a veces ninguna real.
Es una ecuación donde la incógnita aparece elevada al cuadrado (x²). A diferencia de las ecuaciones de primer grado (que tienen una sola solución), estas pueden tener hasta dos soluciones distintas.
La segunda fórmula se llama fórmula resolvente (o "de Bhaskara") — funciona para cualquier ecuación cuadrática, sin importar los valores de a, b y c.
Resuelve: x² − 5x + 6 = 0
a=1, b=−5, c=6
x = (−(−5) ± √((−5)²−4×1×6)) / (2×1)
x = (5 ± √(25−24)) / 2 = (5 ± 1) / 2
x₁ = (5+1)/2 = 3 · x₂ = (5−1)/2 = 2
La parte de adentro de la raíz cuadrada (b²−4ac) se llama discriminante (Δ). Su signo te dice, sin resolver toda la ecuación, cuántas soluciones reales tiene:
Δ > 0 → 2 soluciones reales distintas · Δ = 0 → 1 solución real (doble) · Δ < 0 → ninguna solución real
La ecuación cuadrática es la parábola y=ax²+bx+c — sus soluciones son justo los puntos donde cruza el eje x. Con los valores de arriba, mira dónde (y si) cruza.
¿Cuántas soluciones reales tiene x² + 2x + 5 = 0, sin resolverla completa?
Δ = 2² − 4×1×5 = 4 − 20 = −16
Como Δ<0, no tiene soluciones reales — la parábola nunca toca el eje x.
Deja de ser cuadrática — se convierte en una ecuación de primer grado (bx+c=0), porque el término con x² desaparece. La fórmula resolvente no aplica en ese caso.
No necesariamente — cuando el discriminante es 0, las dos soluciones coinciden en el mismo valor (se dice que hay "una solución doble"), porque la parábola toca el eje x en un solo punto.
Porque la raíz cuadrada de un número negativo no existe dentro de los números reales — existen los "números complejos" para ese caso, pero eso ya es un tema más avanzado que no vas a necesitar en la secundaria típicamente.