Dos ecuaciones, dos incógnitas — método de sustitución, y las tres formas clásicas de resolverlo, más su interpretación gráfica.
Es un conjunto de dos (o más) ecuaciones con las mismas dos incógnitas (x e y), donde buscas el par de valores que hace verdaderas a las dos ecuaciones a la vez. No alcanza con resolver una sola — la solución tiene que cumplir ambas.
La solución es un par ordenado (x, y) — el único punto que satisface las dos ecuaciones al mismo tiempo.
Es el método más intuitivo: despejas una incógnita en una de las ecuaciones, y la reemplazas ("sustituyes") en la otra. Así te queda una sola ecuación con una sola incógnita, que ya sabes resolver.
Forma: a₁x + b₁y = c₁ / a₂x + b₂y = c₂
Resuelve: x + y = 10 / x − y = 2
Despejamos x en la primera: x = 10 − y
Sustituimos en la segunda: (10 − y) − y = 2 → 10 − 2y = 2 → −2y = −8 → y = 4
Reemplazamos y=4 en x = 10 − y → x = 10 − 4 = x = 6
Solución: (6, 4) — comprobación: 6+4=10 ✓ y 6−4=2 ✓
Igualación: despejas la misma incógnita en ambas ecuaciones, y como las dos expresiones valen lo mismo (son iguales a esa incógnita), las igualas entre sí.
Reducción (o suma y resta): multiplicas una o ambas ecuaciones por un número para que los coeficientes de una incógnita queden opuestos, y luego sumas las dos ecuaciones — esa incógnita se cancela.
No hay un método "correcto" — cada sistema tiene uno que resulta más rápido según cómo estén escritas sus ecuaciones.
Forma: a₁x + b₁y = c₁ / a₂x + b₂y = c₂
Cada ecuación es una recta. La solución del sistema es el punto donde ambas rectas se cruzan — usa los valores de arriba para verlo.
Gráficamente, dos rectas solo pueden relacionarse de tres formas — y eso te dice de antemano qué tipo de solución vas a encontrar:
Resuelve por reducción: 3x + 2y = 16 / 2x − 2y = 4
Los coeficientes de y ya son opuestos (2 y −2) — sumamos las dos ecuaciones directamente:
(3x + 2y) + (2x − 2y) = 16 + 4 → 5x = 20 → x = 4
Reemplazamos x=4 en la primera: 3×4 + 2y = 16 → 12 + 2y = 16 → 2y = 4 → y = 2
Solución: (4, 2)
Si una ecuación ya tiene una variable despejada (como y=2x+1), sustitución es directo. Si ambas ecuaciones ya tienen la misma variable despejada, igualación es más rápido. Si los coeficientes de una variable son iguales o fáciles de igualar multiplicando, reducción suele ser el más corto.
No — puede tener una única solución, ninguna (si las rectas son paralelas), o infinitas (si son la misma recta). Los tres casos son igual de válidos como respuesta.
Porque tiene 2 ecuaciones y 2 incógnitas. También existen sistemas más grandes (3x3, con tres ecuaciones y tres incógnitas), pero siguen la misma lógica general.