Matemática · Álgebra

Trigonometría

Seno, coseno y tangente en el triángulo rectángulo, y la circunferencia trigonométrica que los extiende a cualquier ángulo.

Las tres razones del triángulo rectángulo

En cualquier triángulo rectángulo, si eliges uno de los ángulos agudos (que no sea el de 90°), sus tres lados quedan "bautizados" según su posición respecto de ese ángulo:

  • Hipotenusa: el lado más largo, siempre opuesto al ángulo de 90°.
  • Cateto opuesto: el lado que está enfrente del ángulo que elegiste.
  • Cateto adyacente: el lado que toca al ángulo que elegiste (sin ser la hipotenusa).
sen(θ) = opuesto / hipotenusa
cos(θ) = adyacente / hipotenusa
tan(θ) = opuesto / adyacente

Se recuerda con la palabra SOH-CAH-TOA: Seno=Opuesto/Hipotenusa, Coseno=Adyacente/Hipotenusa, Tangente=Opuesto/Adyacente.

Piénsalo así Imagina un edificio que proyecta una sombra al atardecer. La altura del edificio es el cateto opuesto, la sombra en el piso es el cateto adyacente, y el rayo de sol que va desde la punta del edificio hasta el final de la sombra es la hipotenusa. El ángulo del sol sobre el horizonte determina cómo se relacionan esos tres largos — eso es justamente lo que miden seno, coseno y tangente.

Calcula seno, coseno y tangente de un ángulo

Paso a paso

Un triángulo rectángulo tiene hipotenusa de 10 m y un ángulo de 30°. ¿Cuánto mide el cateto opuesto a ese ángulo?

1
Identifica qué lado buscas y cuál conoces

Buscas el cateto opuesto, conoces la hipotenusa — la razón que relaciona esos dos lados es el seno

2
Escribe la fórmula y reemplaza los datos

sen(30°) = opuesto / 10

3
Despeja el lado que buscas

opuesto = sen(30°) × 10 = 0.5 × 10

4
Resuelve la cuenta

opuesto = 5 m

Ejercicios con respuesta

  1. Un triángulo tiene un ángulo de 45° y su cateto adyacente mide 6 m. ¿Cuánto mide la hipotenusa?
    Ver respuestacos(45°)=adyacente/hipotenusa → hipotenusa=6/cos(45°)=6/0.707≈8.49 m
  2. ¿Por qué el seno y el coseno de un ángulo siempre dan un resultado entre −1 y 1?
    Ver respuestaPorque en un triángulo rectángulo, ni el cateto opuesto ni el adyacente pueden ser más largos que la hipotenusa (que es el lado más largo) — entonces esa división siempre da un número igual o menor a 1.
  3. Si conoces los dos catetos de un triángulo rectángulo, ¿qué razón trigonométrica usas para encontrar el ángulo?
    Ver respuestaLa tangente, porque relaciona directamente el cateto opuesto con el adyacente, sin necesitar la hipotenusa.

La circunferencia trigonométrica

El triángulo rectángulo solo funciona para ángulos entre 0° y 90°. Para ángulos más grandes (o negativos), se usa la circunferencia trigonométrica: un círculo de radio 1, centrado en el origen. Para cualquier ángulo θ medido desde el eje x, el punto donde "aterriza" en el círculo tiene coordenadas (cos θ, sen θ).

Punto en el círculo = (cos θ, sen θ)
Piénsalo así Imagina la manecilla de un reloj gigante, pegada al centro, con longitud 1. A medida que gira, su punta va dibujando el círculo. La altura de la punta (cuánto sube o baja) es el seno. Cuánto se corre hacia los costados es el coseno.

Mueve el ángulo y mira el punto en el círculo

45°

Ángulos notables y signos por cuadrante

Hay algunos ángulos que aparecen todo el tiempo y conviene memorizar, porque dan resultados exactos (no aproximados):

Ángulosencostan
0°010
30°1/2√3/2√3/3
45°√2/2√2/21
60°√3/21/2√3
90°10no existe

Y el signo cambia según el cuadrante: en el 1° (0°-90°) todo es positivo, en el 2° (90°-180°) solo el seno es positivo, en el 3° (180°-270°) solo la tangente es positiva, y en el 4° (270°-360°) solo el coseno es positivo.

Paso a paso

¿Cuál es el signo de sen(200°)?

1
Ubica en qué cuadrante cae el ángulo

200° está entre 180° y 270° → 3er cuadrante

2
Recuerda qué es positivo en ese cuadrante

En el 3er cuadrante solo la tangente es positiva — seno y coseno son negativos

3
La respuesta

sen(200°) es negativo

Ejercicios con respuesta

  1. ¿Cuánto vale sen(30°) sin usar calculadora?
    Ver respuesta1/2 (0.5) — es uno de los ángulos notables
  2. ¿En qué cuadrante está un ángulo de 100°, y qué razón es positiva ahí?
    Ver respuesta2° cuadrante (90°-180°) — solo el seno es positivo
  3. ¿Por qué la tangente de 90° "no existe"?
    Ver respuestaPorque tan(θ)=sen(θ)/cos(θ), y cos(90°)=0 — dividir por cero no está definido.

Preguntas frecuentes

¿Por qué el radio de la circunferencia trigonométrica siempre es 1?

Para que las coordenadas del punto sean directamente el seno y el coseno, sin tener que dividir por nada más — simplifica todas las fórmulas y es la convención universal.

¿Trigonometría solo sirve para triángulos?

No — también describe cualquier cosa que se repite en ciclos: el sonido, la corriente eléctrica alterna, las olas, las mareas, incluso las horas de luz solar durante el año siguen patrones que se modelan con seno y coseno.

¿Cómo calculo el ángulo si ya conozco los lados del triángulo?

Usas la función inversa: si conoces opuesto/hipotenusa, el ángulo es arcsen (sen⁻¹) de ese cociente. Lo mismo con arccos y arctan para las otras razones.

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