Resolver desigualdades, el cuidado especial al multiplicar por un número negativo, y visualización en la recta numérica.
Es como una ecuación, pero en vez de un signo igual (=), tiene una desigualdad: mayor (>), menor (<), mayor o igual (≥), o menor o igual (≤). En vez de una solución única, la respuesta suele ser un rango completo de valores.
¡Ojo con esto! Si multiplicas o divides los dos lados por un número negativo, el signo de la desigualdad se da vuelta (el > pasa a ser <, y viceversa).
Resuelve: 2x + 3 > 11
Paso 1 — restas 3: 2x > 8
Paso 2 — divides por 2 (positivo, no cambia el signo): x > 4
La solución es "todo número mayor a 4" — infinitos valores, no uno solo.
Resuelve: −2x + 3 > 11
Paso 1 — restas 3: −2x > 8
Paso 2 — divides por −2 (¡negativo! el signo se da vuelta): x < −4
Fíjate cómo el > se convirtió en < justo al dividir por un negativo.
A veces la solución tiene que cumplir dos inecuaciones al mismo tiempo — la solución final es la intersección (lo que cumple ambas condiciones a la vez), no la unión.
Un número tiene que ser mayor a 2 y menor a 8 al mismo tiempo. ¿Cuál es el conjunto solución?
2 < x < 8 — todos los números entre 2 y 8 (sin incluir los extremos)
Por ejemplo, 3, 5, 7.5 son soluciones válidas — pero 2, 8, o 10 no lo son.
Otras veces la solución es válida si se cumple una condición o la otra (no hace falta que sean las dos a la vez) — eso es la unión, y se escribe con el símbolo ∪. Es típico cuando las dos condiciones "miran" en direcciones opuestas, por ejemplo x menor que un número Y x mayor que otro número más grande.
La diferencia clave con la intersección: en la intersección el resultado es un tramo cerrado entre dos valores (todo lo que cumple ambas). En la unión el resultado son dos tramos separados que se extienden hacia afuera (todo lo que cumple al menos una).
Caso: x menor que el primer valor, o x mayor que el segundo valor.
Un número tiene que ser menor a 2, o mayor a 7. ¿Cuál es el conjunto solución?
x < 2 ∪ x > 7 — dos tramos separados, sin nada en común entre ellos
Por ejemplo, −3, 0, 1.9 cumplen la primera condición; 8, 10, 100 cumplen la segunda. Pero 4 no cumple ninguna, así que no es solución.
Porque cualquier número dentro del rango encontrado cumple la condición — no hay un único valor que la "resuelva", sino todo un intervalo continuo de números.
Sí — sumar o restar el mismo número a ambos lados NUNCA cambia el sentido de la desigualdad. El cuidado especial es solo al multiplicar o dividir por un número negativo.
De tres formas equivalentes: con la desigualdad misma (x>4), en la recta numérica (con un círculo y una flecha), o como intervalo (4, +∞).
Fíjate en la conjunción que conecta las dos condiciones. Si el problema dice "Y" (ambas cosas a la vez), es intersección — el resultado suele ser un tramo cerrado entre dos valores. Si dice "O" (al menos una de las dos), es unión — el resultado suele ser dos tramos separados que se extienden hacia afuera.