Qué significa la distancia sin dirección, y cómo resolver ecuaciones e inecuaciones que lo contienen.
El valor absoluto de un número es su distancia hasta el cero, sin importar si el número es positivo o negativo. Por eso el resultado de un valor absoluto siempre es positivo o cero — nunca negativo.
¿Cuánto vale |−7|?
−7 es negativo
|−7| = −(−7) = 7
|−7| = 7 — porque −7 está a una distancia de 7 unidades del cero
Si |x| = a (con a positivo), en realidad hay dos números que están a esa distancia del cero: el positivo y el negativo. Por eso una ecuación con valor absoluto casi siempre tiene dos soluciones.
Forma: |x| = a
Acá es donde se conecta con lo que ya viste en Inecuaciones: |x| < a se convierte en una intersección (un tramo entre dos valores), y |x| > a se convierte en una unión (dos tramos separados).
|x| < a (verde, un solo tramo) vs |x| > a (ámbar, dos tramos hacia afuera).
Resuelve: |x − 3| = 7
x − 3 = 7 o x − 3 = −7
x − 3 = 7 → x = 10 · x − 3 = −7 → x = −4
x = 10 y x = −4 — comprobación: |10−3|=|7|=7 ✓ y |−4−3|=|−7|=7 ✓
Porque "estar cerca del cero" (menos que a de distancia) solo puede pasar en una zona continua alrededor del cero. Pero "estar lejos del cero" (más que a de distancia) puede pasar tanto muy a la izquierda como muy a la derecha — dos zonas separadas.
Casi siempre, pero no siempre: si |x|=0, la única solución es x=0 (una sola). Y si te piden |x|=un número negativo, no hay ninguna solución, porque el valor absoluto nunca puede dar negativo.
Para medir diferencias sin que importe la dirección: el margen de error en una medición, la diferencia de temperatura entre dos días, o cuánto te falta o sobra respecto de un objetivo — en todos esos casos, lo que importa es "cuánto", no si es de más o de menos.